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伯努利方程(Bernoulli equation)
发布日期:2016-01-29

伯努利方程(Bernoulli equation)
   理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时,运动方程(即欧拉方程)沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体 ,方程为
   p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C
   式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度;z 为铅垂高度;g为重力加速度。 
   上式各项分别表示单位体积流体的压力能 p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2,在沿流线运动过程中,总和保持不变,即总能量守恒。但各流线之间总能量(即上式中的常量值)可能不同。对于气体,可忽略重力,方程简化为p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0),各项分别称为静压 、动压和总压。显然 ,流动中速度增大,压强就减小;速度减小, 压强就增大;速度降为零,压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力,就在于下翼面速度低而压强大,上翼面速度高而压强小 ,因而合力向上。 据此方程,测量流体的总压、静压即可求得速度,成为皮托管测速的原理。在无旋流动中,也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同,此时公式中的常量在全流场不变,表示各流线上流体有相同的总能量,方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中,粘性摩擦力消耗机械能而产生热,机械能不守恒,推广使用伯努利方程时,应加进机械能损失项。 

伯努利方程

图为验证伯努利方程的空气动力实验。
   补充:p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2(1)
   p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量 (2)
   均为伯努利方程
   其中ρv^2/2项与流速有关,称为动压强,而p和ρgh称为静压强。
   伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。

由伯努利方程可以看出,流速高处压力低,流速低处压力高

伯努利方程应用

图II.4-3为一喷油器,已知进口和出口直径D1=8mm,喉部直径D2=7.4mm,进口空气压力p1=0.5MPa,进口空气温度T1=300K,通过喷油器的空气流量qa=500L/min(ANR),油杯内油的密度ρ=800kg/m3。问油杯内右面比喉部低多少就不能将油吸入管内进行喷油?

解:

由气体状态方程,知进口空气密度ρ=p1/(RT1)=(0.5+0.1)/(287*300)kg/m3=6.97kg/m3

求通过喷油器的质量流量:

qm=ρa*qa=(1.185*500*10-3/60)kg/s=0.009875kg/s

求截面积1和截面积2处的平均流速:

u1=qm(ρ1A1)=[0.009875/(6.97*0.785*0.0082)]m/s=28.2m/s

u2=qm(ρ2A2)=[0.009875/(6.97*0.785*0.00742)]m/s=33m/s

由伯努利方程课的:

p1-p2=0.5*ρ1(u22-u12)=0.5*6.97(332-28.22)pa=1014pa

吸油管内为静止油液,若能吸入喉部,必须满足:

p1-p2≥ρgh

h≤(p1-p2)/ρg=1014/(800*9.8)m=0.129m

说明油杯内油面比喉部低129mm以上便不能喷油。



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